¿Qué es la razón en geometría?
La razón como concepto geométrico viene definido así: razón de dos números es el cociente indicado del primero entre el segundo
¿Qué es la proporción?
La proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción tiene por tanto cuatro términos ordenados:
Dos razones son iguales cuando el producto de medios es igual producto de extremos.
Propiedades de las proporciones.
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Proporcionalidad_lbc/magdirectprop.htm
Calcular el tanto por ciento, t %, de una cantidad A consiste en encontrar una cantidad B de forma que A y B estén en la misma proporción que 100 y t.
Así, si el t % de una cantidad A es otra cantidad B, se verifica:
Por tanto, sin tener más que dos de estos datos se puede averiguar el tercero.
Decir que el t % de cierto colectivo (cuya representación debe ser numérica) verifica algo, significa que de cada 100 individuos de ese colectivo, t cumplen dicha condición.
Así, por ejemplo, si se dice que «el 25 % de las personas que forman un Parlamento son de la oposición», se está diciendo que de cada 100 parlamentarios, 25 son de la oposición.
Si hay 100 parlamentarios, 25 son de la oposición
Si hay 300 parlamentarios, 75 son de la oposición
Ejercicio: cálculo de tantos por ciento
1. ¿Cuál es el 25 % de 480?
Resolución:
En este caso A = 480 y t = 25. Se debe calcular B.
El 25% de 480 es 120.
2. Calcular qué tanto por ciento de 320 es 80.
Resolución:
Obsérvese que en este caso A = 320, B = 80 y se ha de calcular t.
3. El 15 % de cierta cantidad es 54. Calcular esa cantidad.
Resolución:
t = 15 B = 54
4. En una clase de 30 alumnos, 8 practican la natación y 22 juegan al fútbol. Hallar el porcentaje de alumnos que practica cada deporte.
Resolución:
El 26,6 % de los alumnos practica la natación.
El 73,3 % de los alumnos juega al fútbol.
El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a la tasa de interés i :
I = C · i · t
donde i está expresado en tanto por uno y t en años.
Ejercicios:
1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.
Resolución:
Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06
I = 25 000·0,06·4 = 6 000 ? = C·i·t
El interés es de 6 000 pesos
2. Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.
Resolución:
? = C·i·t
3. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?
Resolución:
I = ?·i·t
El saldo medio ha sido de 48 500 pesos.
4. Un préstamo de 20 000 PTA se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?
Resolución:
Los intereses han ascendido a:
22 400 - 20 000 = 2 400 pesos I = C·?·t
Aplicando la fórmula I = C · i · t
La tasa de interés es del 12 %.
5. Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?
Resolución:
Aplicando la fórmula I = C · i · t
12 000 = 300 000 =: 0,08 · t
I = C·i·?
El tiempo que ha estado invertido es de 0,5 años, es decir, 6 meses.
ACTIVIDADES PARA PRACTICAR:
La razón como concepto geométrico viene definido así: razón de dos números es el cociente indicado del primero entre el segundo
- es importante el orden en que se dicen o escriben los términos.
- se indica en forma de fracción.
- los dos números se llaman términos de la razón.
- el primer termino se llama antecedente y el segundo termino consecuente.
La proporción es la igualdad de dos razones. Una proporción tiene por tanto cuatro términos ordenados:
- los cuatro números se llaman términos de la proporción
- el primero y el ultimo se llama extremos y el segundo y el tercero se llaman medios.
Dos razones son iguales cuando el producto de medios es igual producto de extremos.
Propiedades de las proporciones.
- La suma de los antecedentes dividida entre la suma de consecuentes e igual a la razón de proporcionalidad.
- En toda proporción la suma o resta de los dos primeros términos es al primero como la suma o resta de los dos últimos términos es al tercero.
Razón
Dados dos números a y b una razón es el cociente entre esos números
Proporción
Dadas dos razones
Los términos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios a·d = b·c
Dadas dos razones
Los términos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios.
En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios a·d = b·c
Ejercicios para hacer, te los corrige
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Definición. Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por el mismo número
La razón o cociente entre la segunda y la primera magnitud, se llama constante de proporcionalidad directa.
Una forma de resolver actividades de magnitudes directamente proporcionales es mediante una regla de tres. Sin embargo este procedimiento se convierte en un método que se realiza de forma completamente mecánica, sin que se sepa realmente lo que se está haciendo.
Ejemplo 1:
Un saco de patatas pesa 20 kg . ¿Cuánto pesan 2 sacos? Un cargamento de patatas pesa 520 kg . ¿Cuántos sacos se podrán hacer?
MAGNITUD
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CASO 1
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CASO 2
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CASO 3
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Nº sacos
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1
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2
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y
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Masa (Kg.)
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20
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x
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520
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Nº sacos luego son magnitudes directamente proporcionales
MAGNITUDES INVERSAMENTE ROPORCIONALES
Definición. Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales si al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.
Al producto de las dos magnitudes, se le llama constante de proporcionalidad inversa.
Una forma de resolver actividades de magnitudes inversamente proporcionales es mediante una regla de tres. Sin embargo este procedimiento se convierte en un método que se realiza de forma completamente mecánica, sin que se sepa realmente lo que se está haciendo
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Ejemplo 1:
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?
MAGNITUD
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CASO 1
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CASO 2
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Nº hombres
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3
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18
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Tiempo (días)
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24
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x
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A más hombres
Más ejercicios:
TANTO POR CIENTO
Calcular el tanto por ciento, t %, de una cantidad A consiste en encontrar una cantidad B de forma que A y B estén en la misma proporción que 100 y t.
Así, si el t % de una cantidad A es otra cantidad B, se verifica:
Por tanto, sin tener más que dos de estos datos se puede averiguar el tercero.
Decir que el t % de cierto colectivo (cuya representación debe ser numérica) verifica algo, significa que de cada 100 individuos de ese colectivo, t cumplen dicha condición.
Así, por ejemplo, si se dice que «el 25 % de las personas que forman un Parlamento son de la oposición», se está diciendo que de cada 100 parlamentarios, 25 son de la oposición.
Si hay 100 parlamentarios, 25 son de la oposición
Si hay 300 parlamentarios, 75 son de la oposición
Ejercicio: cálculo de tantos por ciento
1. ¿Cuál es el 25 % de 480?
Resolución:
En este caso A = 480 y t = 25. Se debe calcular B.
2. Calcular qué tanto por ciento de 320 es 80.
Resolución:
Obsérvese que en este caso A = 320, B = 80 y se ha de calcular t.
Resolución:
t = 15 B = 54
Resolución:
Fórmula del interés simple
El interés I que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial C, al tiempo t, y a la tasa de interés i :
I = C · i · t
donde i está expresado en tanto por uno y t en años.
Ejercicios:
1. Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.
Resolución:
Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06
I = 25 000·0,06·4 = 6 000 ? = C·i·t
El interés es de 6 000 pesos
2. Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.
Resolución:
? = C·i·t
3. Al cabo de un año, un banco ha ingresado en una cuenta de ahorro, en concepto de intereses, 970 pesos. La tasa de interés de una cuenta de ahorro es del 2 %. ¿Cuál es el saldo medio (capital) de dicha cuenta en ese año?
Resolución:
I = ?·i·t
El saldo medio ha sido de 48 500 pesos.
4. Un préstamo de 20 000 PTA se convierte al cabo de un año en 22 400 pesos. ¿Cuál es la tasa de interés cobrada?
Resolución:
Los intereses han ascendido a:
22 400 - 20 000 = 2 400 pesos I = C·?·t
Aplicando la fórmula I = C · i · t
La tasa de interés es del 12 %.
5. Un capital de 300 000 pesos invertido a una tasa de interés del 8 % durante un cierto tiempo, ha supuesto unos intereses de 12 000 pesos. ¿Cuánto tiempo ha estado invertido?
Resolución:
Aplicando la fórmula I = C · i · t
12 000 = 300 000 =: 0,08 · t
I = C·i·?
El tiempo que ha estado invertido es de 0,5 años, es decir, 6 meses.
ACTIVIDADES PARA PRACTICAR:
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